基于极大似然估计的中国拆借市场短期利率模型实证研究

李冰清 王默航

（南开大学风险管理与保险学系，天津 300071）

    ［摘要］文章采用极大似然估计方法，考虑了短期利率模型的异方差性，对中国银行间拆借市场利率IBO007数据，进行了单因子连续时间利率期限结构模型的参数估计。实证结果显示我国银行间拆借市场的短期利率具有均值回复的特性，并且在CKLS模型中系数为1.162，小于美国市场的1.5。和其他模型相比，BrennanSchwartz模型在中国拆借市场利率数据拟合方面的效果最好。
    ［关键词］单因子短期利率模型；极大似然估计；中国拆借市场

     一、引言
    利率是金融市场最重要的价格变量。特别是短期利率，由于它直接影响着各种固定收益（fixed income）债券及其衍生产品（derivatives）的定价，与此同时也被视为主要的参考利率，因此短期利率对于利率风险管理、资产定价以及金融保险产品的分析也是相当重要的。
    中国金融市场在改革开放以及加入WTO以后，将面临着进一步按照国际惯例的要求进行改革和发展的需要，这就对动态把握利率的走势，与利率相关的金融保险产品定价，以及利率风险管理提出了更精确的要求。这就需要在分析国际最新的理论模型和实证方法的基础上，结合中国金融市场的发展，分析和判断中国短期利率的动态性。
    无论是从理论角度还是实际应用角度，都需要对利率期限结构模型进行深入的研究，尤其需要探讨如何把国际上已有的理论方法与中国的实际情况相结合。本文在分析国际最新的理论方法的基础上，利用中国银行同业拆借市场的利率数据，估计出了该市场下最优的利率动态模型。
    二、利率期限结构的单因子模型
    鉴于利率的重要性，国内外的学者们提出了许多利率期限结构理论和模型来解释利率的行为。传统理论主要有：预期理论、市场分割理论、流动性偏好理论。期限结构模型研究方面在经过Merton（1973）［1］，Brenna and Schwartz（1977,1979,1980）［2］，Vasicek（1977）［3］，Dothan（1978）［4］，Cox,Ingersoll and Ross（1980,1985）［5］对利率期限结构模型进行了开拓性研究后，HoLee（1986），HJM（1992）［6］，HullWhite（1990）［7］，Jamshidiam（1995）［8］考虑了参数可能随时间变化的期限结构模型。
Constantinides（1992）［9］，DuffieKan（1994），LongstaffSchwartz（1992）等又进行了一系列的研究和推广，形成了多要素期限结构模型。另外，由Chan,Karolyi,Longstaff and Sanders（1992）［10］提出的CKLS模型，将期限结构模型的研究带入了新的阶段。
国内对于利率模型的研究在逐步深入中。其中潘冠中，邵斌（2004）［11］《单因子利率模型的极大似然估计——对中国利率的实证分析》一文，对中国利率模型进行了初步的分析。随后，吕兆友（2007）［12］在《基于单因子利率期限结构模型的中国银行间短期利率行为的实证研究》一文中，利用高斯估计的方法，对中国银行间债券市场国债短期利率进行了统计学分析。

［作者简介］李冰清，南开大学风险管理与保险学系副教授；王默航，南开大学风险管理与保险学系硕士生。
一般来说，利率期限结构模型是由随机微分方程来描述的。主要模型有Merton模型、Vasicek模型、CIR模型、GBM模型、BrennanSchwartz模型和CKLS模型。其中，CKLS模型是其他几种模型的一般形式，其模型参数有α，β，σ，γ。表1中所示的是这几种模型的微分方程形式以及参数限制。
短期利率模型的微分方程形式和参数限制
表1
模型[]模型的微分方程形式[]α[]β[]σ[]γMerton[]dr=αdt+σdZ[][]0[][]0Vasicek[]dr=(α+βr)dt+σdZ[][][][]0CIR[]dr=(α+βr)dt+σr1/2dZ[][][][]0.5GBM[]dr=βrdt+σrdZ[]0[][][]1Brennan-Schwartz[]dr=(α+βr)dt+σrdZ[][][][]1CKLS[]dr=(α+βr)dt+σrγdZ模型1是最早由Merton（1973）建立的连续时间模型，主要是为了导出折线债券价格模型，并且假设利率过程是带漂移项的布朗运动。在这一模型中，利率为负的概率大于零，并且利率均值回复的特性没有体现。
模型2是由Vasicek（1977）提出的另一个利率期限模型。在这一模型中，利率体现了均值回复的特征。Vasicek模型被广泛应用于债券期权、远期、期货和其他衍生产品定价。通过限制β=0，Merton模型可以看成是Vasicek模型的特例。
模型3是由Cox，Ingersoll和Ross（1985）提出来的一种单因子利率期限模型。这个模型也被广泛应用于利率敏感性金融产品的定价。CIR模型拥有均值恢复的特性，另外隐含着波动项与利率水平r成比例的关系。在这一模型中，瞬时利率不小于零，并且瞬时利率的波动率不再是常数，它是r的增函数，当瞬时利率高时，波动率也大，从而较好地描述了利率运动变化的特点。
模型4是经典的几何布朗运动模型（GBM，geometric Brownian motion）。几何布朗运动是由Marsh和Rosenfeld（1983）提出的一种特殊的利率模型。另外，模型5是由Brennan和Schwartz（1980）提出的用来估价可转换债券的一种利率模型，这种利率模型也被用来估计折价债券期权的价格。
模型6是由Chan,Karolyi,Longstaff and Sanders（1992）提出来的一种更一般的模型，为了检验不同的参数模型对波动率的描述是否正确。很多其他的单因子利率模型都可以纳入这一模型的框架之下。
dr=(α+βr)dt+σrγdZ（1）
三、参数估计方法
为了估计方程（1），必须对模型采用适当的离散形式。利用欧拉方程来对方程（1）进行离散化：
rt+1-rt=α+βrt+εt+1（2）
E(εt+1)=0,E(ε2t+1)=σ2r2γt（3）
离散模型允许利率的方差变化直接依赖于利率的水平，这在某种程度上与连续时间模型是一致的。本文在利率模型离散化的基础上，利用极大似然估计方法进行参数估计和假设检验。极大似然估计方法具有众所周知的三个特点：即它是一致的、渐进正态的和渐进有效的。从稳定性和有效性方面来比较，极大似然估计方法要优于广义矩方法。
然而，传统的极大似然估计方法的弱点在于处理具有异方差的回归模型。传统的极大似然估计方法假设模型的残差具有同方差的假设，这就使得极大似然估计方法在短期利率期限模型——这种具有异方差的模型上的应用显得力不从心。基于这点考虑，本文主要从极大似然估计方法的角度出发，立足于发现极大似然估计方法是如何处理具有异方差模型。《EViews 5 User′s Guide》（2004）［13］对这种具有异方差的回归模型进行了详细说明①。

①关于极大似然估计方法，以及如何利用极大似然估计方法处理异方差，包括相关的EViews程序，请参照《EViews 5 User′s Guide》,2004,Copyright  Quantitative Micro Software,LLC。对于具有异方差的回归模型如下：
yt=β1+β2xt+εt（4）
εt=N(0,σ2xαt)（5）
其中yt,xt是观测到的数据，β1,β2,α,σ是模型的参数。由极大似然估计方法，可以得到T个变量的极大似然估计方程如下：
l(β,γ,σ)=-T[]2(log(2π)+logσ2)-α[]2∑T[]t=1log(xt)-∑T[]t=1(yt-β1-β2xt)2[]σ2xαt
=∑T[]t=1log(yt-β1-β2xt[]σxα/2t-1[]2logσ2xαt(6)
其中是标准正态密度函数。
在这里，可以把极大似然函数写成每个观测值的极大似然函数：
l(β,α,σ)=∑T[]t=1lt(β,α,σ)（7）
每个独立的分布可以写成：
lt(β,α,σ)=log(yt-β1-β2xt[]σxα/2t-1[]2logσ2xαt（8）
这样，可以通过对极大似然函数（8）的估计来求方程（1）的四个参数α,β,σ,γ。
四、数据来源
中国货币市场包括银行间拆借市场、银行间债券市场、商业票据市场等子市场。全国银行间拆借市场于1996年1月3日开始运行，拆借交易采用信用拆借模型；全国间债券市场于1997年6月16日开始运行，债券分为现券交易与回购交易两部分，债券品种包括国债、政策性金融债等。这两个市场均实行自主报价、格式化询价、确认成交的交易方式。目前，我国同业拆借市场有IBO001、IBO007、IBO014、IBO021、IBO1M、IBO2M、IBO3M、IBO4M、IBO6M、IBO9M和IBO1Y等11个品种；与此同时，债券回购市场有OR001、OR007、OR014、OR021、OR1M、OR2M、OR3M、R01D、R02D、R03D、R07D、R14D、R21D、R01M、R02M、R03M、R04M、R06M、R09M和R01Y等20个品种。
本文所采用的单因子利率模型参数估计的中国货币市场利率是银行间市场的拆借利率IBO007，使用的数据是IBO007每日加权平均利率，跨期从1996年1月3日至2007年12月4日，总共2 511个数据，来自于CCER的网站（http://www.ccerdata.com/）。选择IBO007的数据进行利率模型参数估计的理由是：银行间拆借利率先于债券回购市场一年多开始运行，包括了更长时期的数据，拆借利率能更全面地反映中国货币市场利率的特点；期限太长的拆借利率（一个月以上）品种与瞬时利率差别较大；IBO007在拆借市场中交易量最大①，并且几乎每天都有交易，数据完整。
样本数据的统计分析（Descriptive Statistics）
表2
[]N[]Minimum[]Maximum[]Mean[]Std.Deviationrt[]2 511[].012 758[].135 972[].0421 440 9[].036 758 082rt+1-rt[]2 511[]-.067 063 0[].040 151 8[]-.000 032 1[].005 130 067Valid N （listwise）[]2 511注：此表为样本数据的统计分析列表，包括样本数据的最基本的统计量。其中表中第二列表示样本数据的容量。第三列表示样本数据的最小值。第四列表示样本数据的最大值。第五列表示样本数据的均值。第六列表示样本数据的标准差。
在利率模型中，各种不同期限的利率以连续复利形式表示，因此我们也将数据进行了转换，转换公式为rt=ln(1+IBO007/52)×52，其中rt表示连续复利形式的利率。

①1997年~2003年间，IBO007的成交量占整个拆借市场的60%，是IBO030的15倍。time
图11996年1月~2007年12月中国拆借市场IBO007
五、实证结果
本文应用极大似然估计方法对我国拆借市场短期利率进行了统计分析，表3列出了利用IBO007数据得出的各个短期利率模型参数估计的结果。表3中无约束CKLS模型的参数估计结果显示，参数α,β显著不为零，这就意味着利率变化有明显的均值回复特征，与理论预期的利率应具有的特征相符；参数γ①值非常显著，为1.162，这说明利率波动率的水平效应显著。
从CKLS模型、Vasicek模型、CIR模型和BrennanSchwartz模型可以看出，代表均值回复的参数β的估计值为负值且显著不为零，参数α的估计值为正值且显著不为零，从统计意义上来说我国银行间拆借市场的日短期利率具有均值回复的特性。
CKLS（1992）估计的美国国债月度利率的估计值为1.50②，其显著异于零。Athanasios Episcopos（2000）［14］对美国、澳大利亚等10个国家的银行间拆借月度利率的估计值进行了分析，不同的国家得到的结果也不一样，变化范围在0.2与1.56之间，10个国家中，有7个国家的γ估计值小于1。
另外，为了从这些模型中选出较好的模型，同时对每个模型分别和无限制的CKLS模型进行似然比检验③。在所研究的6个模型中，BrennanSchwartz模型的似然函数值最大，这说明该模型对中国拆借市场的短期利率模型拟合的最好④。在Vasicek模型和CIR模型之间，CIR模型的似然函数值更大，这说明传统经典的CIR模型对中国拆借市场的短期利率模型拟合的效果要比Vasicek模型更好。

①参考文献［15］中给出了γ的含义。“γ represents the sensitivity of interest rate volatility to interest rate levels” 代表着波动率对利率水平的敏感程度。
②美国市场γ参见K.C.Chan; G.Andrew Karolyi; Francis A.Longstaff; Anthony B.Sanders,1992,An Empirical Comparison of Alternative Models of the ShortTerm Interest Rate,［J］.Journal of Finance（47）,1209-1227。
③对于似然比检验，参见计量经济学，林文夫著，或者SOA Course C study manual ACTEX。
④这个结论与吕兆友（2007）［12］的结论相一致。基于极大似然估计的短期利率期限结构模型的参数估计结果
表3
模型[]α[]β[]σ2[]γ[]L（θ）[]估计变量CKLS[]0.000 643
（5.611 471）[]-0.979 839
（-202.640 6）[]0.027 589
（12.206 68）[]1.161 760
（93.863 67）[]10 972.28[]4Merton[]0.042 114
（17.188 98）[]0[]0.001 348
（11.396 56）[]0[]4 732.975[]2Vasicek[]0.000 425
（1.476 959）[]-0.989 047
（-302.281 8）[]2.62E-05
（128.960 9）[]0[]9 681.679[]3CIR[]0.000 383
（2.482 385）[]-0.990 094
（-343.569 7）[]0.000 406
（108.807 9）[]0.5[]10 557.26[]3GBM[]0[]1.004 196
（502.469 1）[]0.009 305
（87.521 55）[]1[]10 940.05[]2BrennanSchwartz[]0.000 520
（4.668 813）[]-0.984 982
（-237.979 2）[]0.009 236
（87.377 55）[]1[]10 949.80[]3CKLS（当γ=1.5时）[]0.001 088
（9.228 864）[]-0.959 943
（-160.635 4）[]0.302 250
（76.718 06）[]1.5[]10 889.31[]3注：用于参数估计的数据是中国银行间拆借市场短期利率IBO007，跨期从1996年1月3日到2007年12月4日，共计2 511个日数据。L(θ)为极大似然函数值，函数值越大代表相似程度越高。
五、结论
本文选择中国银行间拆借市场的短期利率IBO007作为瞬时利率rt的近似替代，采用极大似然估计方法。区别于传统的不考虑异方差特征的模型估计方法，本文所采用的极大似然估计方法考虑了利率模型具有异方差的特征，对异方差的系数进行了估计，不仅保留了极大似然估计方法的稳定性和有效性，而且避免了模型具有异方差给估计带来的偏差。
利用极大似然估计方法所得出的结果，本文得出了中国银行间拆借市场利率的特点：中国拆借市场利率的γ大约为1.162；另外，中国拆借市场具有明显的均值回复效应，这与文献中得到的美英两国利率的特点都不相同；最后，对所分析的6个模型进行横向对比，得出BrennanSchwartz模型是对中国拆借市场的短期利率拟合程度最好的一个模型。

［参考文献］
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［13］（日）林文夫［著］，冉启康,朱保华 译.计量经济学［M］，上海财经大学出版社，2005.
［14］Athanasios Episcopos,2000,Further evidence on alternative continuous time models of the shortterm interest rate,［J］.Journal of International Financial Markets,Institutions and Money（10）,199-212.
［15］K.C.Chan; G.Andrew Karolyi; Francis A.Longstaff; Anthony B.Sanders,1992,An Empirical Comparison of Alternative Models of the ShortTerm Interest Rate,［J］.Journal of Finance（47）,1209-1227.

Abstract：In this paper, the maximum likelihood estimation (MLE) is applied to estimate the parameters for several singlefactor continuoustime interest rate models, taking into account the heteroskedasticity of interest rate model, and using the 7day interbank offer rate (IBO007) as the proxy. The regression results indicate that the interbank offer rate shows pronounced meanreverting tendency, and the value of  in the CKLS model is around 1.162, less than 1.5 in the US market. In comparison, the BrennanSchwartz model is superior to other formulations in terms of data fit for China′s interbank market interest rate.
Key words：singlefactor interest rate models; maximum likelihood estimation; China′s interbank market
［编辑：王一心］保险研究2008年增刊2