中国寿险生命表演变规律及其未来中国人口预测的应用

段正敏 何欣

（1.重庆大学数理学院，重庆 400044；2.西南财经大学保险学院，四川 成都 611946）

    ［摘要］本文是根据中国经验生命表（1990年~1993年和2000年~2003年）的寿险业务表数据，对未来15年的人口死亡率进行了预测，这给生命表的应用提供了一种新的尝试。文章首先分析了寿险生命表发展现状，建立LeeCarter模型对未来15年的人口死亡率作出预测。文中得出的预测结果可以创建2004年~2018年的一系列生命表，这些新的生命表可以为未来寿险业的产品定价和开发提供数据支持，为保险公司的寿险产品未来发展规模提供量化的参考，这为本文进一步应用于实践提供了可能。
    ［关键词］死亡率； 生命表； LeeCarter模型； 预测

    生命表是保险产品定价的关键指标，对于未来生命表的发展趋势的把握，直接影响未来保险产品的设计和公司的发展规模，目前我国编制了中国人寿保险经验生命表（1990年~1993年）和中国人寿保险经验生命表（2000年~2003年）两部生命表（英文简称CL9093和CL00-03），每部生命表又各分为非养老金业务表和养老金业务表两套。本文先对历史数据做现状分析，而后建立预测模型，文章将主要运用LeeCarter模型来完成对未来死亡率发展的探讨，从而为寿险产品的设计提供参考。
    一、中国人口死亡率发展现状
    （一）死亡率总体趋势
    年份
    图11950年~2005年中国人口死亡率

图1展现了我国的人口平均死亡率从1950年到2005年的变化。在总体上，死亡率呈下降趋势。1950
［作者简介］段正敏，重庆大学数理学院副教授；何欣，西南财经大学保险学院硕士研究生。
年的死亡率为18‰，1955年下降至12.28‰。在20世纪60年代初，死亡率出现较大的波动，1960年的死亡率出现了一个峰值，达到了25.43‰,此后死亡率保持下降的趋势直至2005年。随着我国经济、社会环境的发展及医疗技术和人民卫生意识的增进，1980年后，我国的死亡率开始平稳下降。1965年~1980年间，死亡率下降了3.16‰（年均下降率2.2%），1980年~2005年间，死亡率下降了0.17‰（年均下降率0.2%）。
（二）生命表两性分年龄死亡率和平均预期寿命的变化分析
根据CL93-03与CL00-03养老金业务男女表的数据，分男女把各个年龄组死亡率的变化程度作图分析。图2显示男女各单岁年龄组的死亡率下降率。
总体来说，女性死亡率下降大于男性。男性仅在0~5岁与14~19岁年龄段的死亡率下降大于女性。男女婴儿死亡率（q0)的下降是最显著的。由图2的显示，男婴的死亡率下降了77.1%，女婴下降了76.9%，男婴的死亡率大于女婴，但下降率较高。
图2CL00-03与CL90-93男女死亡率变化百分比

1~7岁和14~20岁对男女性都是死亡率下降较快的年龄段。1~7岁的男性死亡率平均下降63.5%，女性为63.4%；14~20岁的男性死亡率平均下降了48.4%，女性为46.3%。女性的45~60岁年龄段是除儿童期外下降得最快的区间，平均下降率达到了52.6%。而男性在51~59岁也出现了一个死亡率下降的峰值，如图2所示，平均下降了47.6%。
在图2中还可以发现，男性99岁及以上和女性100岁及以上的死亡率下降率为负，表明这个区间段的死亡率是增加的。这也说明了能活到99岁以上的老人增加了。
生命表CL90-93与CL00-03养老金业务表中，各年龄组的平均预期寿命也发生了变化。CL00-03养老金业务男表出生时的平均预期寿命e0比CL90-93增加了4.8岁，女表的e0增加了4.7岁。
（三）平均预期寿命变化的年龄分解
各个年龄组死亡率的变化会导致e0的变化。阿瑞阿格（Arriaga）在1984年提出关于比较不同时期或人群的平均预期寿命变化速度与e0的年龄分解的度量方法。下面将用此方法来做各年龄组死亡率变化对出生时平均预期寿命（e0）增减的贡献估计。分年龄组死亡率的变化对e0的影响可以分为三方面：直接影响（iDEx），间接影响（iIEx），交互影响（iIx）。
直接影响（iDEx）是该年龄区间死亡率变化引起生存人年数变化从而导致e0变化，这里的计算要引入一个“暂时平均预期寿命iex”的概念。间接影响（iIEx）是由年龄区间死亡率变化引起区间终点年龄生存人年数变化，并使得终点年龄后的各年龄区间生存人年数变化，最终导致e0变化。交互影响（iIx）是新增的生存人数由于死亡率的增减导致年生存人数的变化与该年龄区间内的间接影响的差。通过计算我们可得表1所示。
表1中，各年龄死亡率变化对e0变化的影响就是估计出来的贡献度。可以看到男性51～70年龄组的贡献最大，为41.21%，70岁以上年龄组贡献也很大，有30.69%。因此，可以认为老年人口死亡率变化对e0变化的影响最大。
各年龄组死亡率变化对e0变化的贡献（男）
表1
年龄组
（岁）[]直接影响
（iDEx）[]间接影响
（iIEx）[]交互影响
（iIx）[]总和
（iTEx）[]各年龄死亡率变化
对e0的影响（%）0～15[]0.082 1[]0.490 4[]0.034 7[]0.607 2[]13.2716～50[]0.187 2[]0.474 5[]0.017[]0.678 7[]14.8351～70[]0.663 1[]1.049 7[]0.173 6[]1.886 4[]41.2170+[]1.404 7[][][]1.404 7[]30.69合计[][][][]4.577[]100.00各年龄组死亡率变化对e0变化的贡献（女）
表2
年龄组
（岁）[]直接影响
（iDEx）[]间接影响
（iIEx）[]交互影响
（iIx）[]总和
（iTEx）[]各年龄死亡率变化
对e0的影响（%）0～15[]0.103 7[]0.407 7[]0.026 5[]0.537 9[]11.6916～50[]0.136 8[]0.419 3[]0.063 6[]0.619 7[]13.4751～70[]0.512[]0.999[]0.164 2[]1.675 2[]36.4170+[]1.768 4[][][]1.768 4[]38.43合计[][][][]4.601 2[]100表2是女性死亡率变化对e0变化的影响，和男性情况相似，也是老年人口的影响度最大，但不同的是70岁以上占38.43%比51～70组的36.41%大。
养老金业务表的数据来源于养老保险行业长期统计的信息，不但老年人口死亡率变化对e0的增减影响最大，而且其平均预期寿命也比人口普查的数据高。2000年全国平均预期寿命为69.6岁（男性）和73.3岁（女性）,而CL00-03养老金业务表（表1）的e0为79.9岁（男性）和83.7岁（女性），平均高出了10岁。这是由于办理养老金业务的多为城市人口，较好的医疗环境保证了较长的寿命。
二、LeeCarter模型
（一）模型概述
Lee和Carter（1992）通过分析1900年~1989年美国人口死亡率的长期趋势，提出了一种预测未来美国人口死亡率变化的概率模型。该方法是建立在特定年龄死亡率与时间和年龄关系之上的对数模型，并被广泛运用到许多国家和地区的死亡率预测上（Wilmoth,1996；Tuljapurkar等,2000；Booth等,2001；Carter和Prskawetz,2001;王建平和涂肇庆,2003；卢仿先和尹莎,2005）。
LeeCarter模型的主要思路是将年龄别死亡率的变化分解为两部分：一是随时间变化的时间因子，一是不随时间变化的年龄因子。该模型引进了三个参数ax、bx和kt，模型结构如下：
 ln(mx(t))=ax+bx×kt+εx(t)（1）
参数ax是年龄别死亡率取对数以后的平均值。参数bx描述了各个年龄组死亡率随时间变化的系数。参数kt反映历年死亡率水平。mx(t)表示x年龄组在时间t的中心死亡率，由于本文将用单岁作为年龄组，这里的mx(t)就表示x岁在时间t的死亡率。
（二）所用数据说明及处理
原始数据是中国寿险经验生命表（1990年~1993年）养老金业务男表（CL4）和女表（CL5），中国寿险经验生命表（2000年~2003年）养老金业务男表（CL3）和女表（CL4）。本文除了将101岁到105岁划为100岁以上组，其余采用单岁年龄组死亡率。100岁以上组死亡率采用组中心死亡率。由于LeeCarter模型的奇异值分解法（SVD）要求完整数据，而CL（90~93）与CL（00~03）的数据处理与编制正好相距10年，用线性插值的方式内插9组数据，在模型拟合后使用调整值。图3显示了插值后男女人口死亡率的年龄-时间分布。
图3CL90-93至CL00-03死亡率年龄-时间分布（纵轴：ln（1000qx））
（三）建立模型
本文运用LeeCarter模型拟合CL（90~93）~CL（00~03）的男女年龄别人口死亡率，模型如下：
ln(mx(t))=ax+bx×kt+εx(t)（2）
限制条件如下：
∑100+[]x=0bx=1∑10[]t=0kt=0（3）
这里令t=0,1,…,10；其中t=0表示CL90-93的数据，把它作为1993年的数据，建立时间序列。t=10表示CL00-03的数据，把它作为2003年的数据。同时x表示各年龄组，x=0,1,…,100+
ax是通过对t=0,1,…,10的ln(mx(t))取平均值得到，它描述了t=0,1,…,10的年龄分解，通过ax的估计可看到x岁的人按时间t来统算的原始死亡率取几何平均数的对数值。图4显示了男女ax的拟合数值。
年龄
图4分性别的ax值，CL90-93至CL00-03
（四）SVD分解法
LeeCarter模型将各单岁年龄组死亡率取自然对数后按照年份（t）写成一矩阵，再利用SVD求得模型中的参数bx和kt。SVD分解法将上述矩阵与ax的差得到的残差矩阵A分解成三个矩阵：
A=U×diag(S)×V′
这里的U，V为正交矩阵，由对角矩阵S的对角线上的元素构成的向量就是A的奇异向量，这些元素按降序排列。矩阵U代表了年龄因子，矩阵V代表了时间因子。用式（3）的限制条件，可以从矩阵V与S的第一个奇异值求出kt。本文是将对角矩阵S右乘V′，所得的矩阵的第一行向量即为kt。经检验，算出的kt符合式（3）的限制条件。
本文将用SVD近似法的参数解法来求bx值。SVD近似法一般用于ln(mx(t))为非完整矩阵时，即中间某些年度没有数据。该方法提出bx可利用回归分析法求解，将ln(mx(t))-ax设为因变量，kt为自变量，分别对每一年龄组的数据作没有常数项的线性回归，求出的kt的系数即为bx。本文求出的初始bx值总和为8.385（男性）和8.855（女性），不满足式（3）。但该模型可以参数化，对于任意数c，参数进行{ax，bx，kt}→{ax，bx/c，ckt}可使原模型的结构不变（Renshaw和Habeman,2003）。将bx值分别除以8.385和8.855，将新值回代算出A，再进行SVD分解可以得出相同的奇异向量。图5显示男女的bx值。
年龄
图5分性别的bx值，CL90-93至CL00-03
（五）bx值
bx值反映了各年龄组死亡率对数下降或上升的速率。图5可以看出，男性死亡率儿童期和青少年时期比女性下降得快，在55到63岁以及90岁初比女性下降得快。但在成年期和老年期的绝大多数时候，女性的死亡率下降得比男性快。男性100岁以上和女性99岁以上年龄组bx为负。
分性别的kt的估计值
表3
t
kt[]1993[]1994[]1995[]1996[]1997[]1998男[]2.875 1[]2.129 7[]1.468 6[]0.870 7[]0.322 8[]-0.184 4女[]3.239 5[]2.406 8[]1.663 2[]0.988 0[]0.368 0[]-0.206 4t
kt[]1999[]2000[]2001[]2002[]2003男[]-0.657 3[]-1.100 9[]-1.519[]-1.914 7[]-2.290 6女[]-0.742 1[]-1.244 4[]-1.717 6[]-2.165 2[]-2.589 9模型假设bx不随时间而改变。但年龄和时间之间可能存在交互作用。Lee和Miller（2001）在模拟美国分年龄别人口死亡率时，发觉把数据分成两个时期，bx的拟合优度会提升。Carter等（2001）将澳大利亚53年的数据分成不同时期拟合，发现每个时期的bx不同。就本文来说，在CL90-93与CL00-03期间的年龄和时间的交互影响是很小的（见表1，表2）。预计bx在要预测的未来15年，年龄-时间交互作用对其的影响也不会显著。所以本文设bx是固定的。
（六）kt的调整
SVD分解法得出的kt如表3。
由表3中数据可见，死亡率整体水平是稳定下降的。模型是根据年龄别死亡率的自然对数值的最小误差求得kt值，并不是依据年龄别死亡率本身的最小误差，所以需要对kt进行调整。
王建平和涂肇庆（2003）选取了根均平方误差（RMSPE）作为调整kt的误差标准,虽然这种调整方法较为复杂，计算量大，但调整效果佳。本文试用这种方法来讨论，公式如下：
RMSPE=1[]11∑10[]t=0e0(t)-0(t)[]e0(t)2×100%（4）
式（4）中e0（t）是历史数据中的e0，0是由估计出的ax,bx及调整后kt计算出的。kt调整前算出的RMSPE值为0.350 2%（男性）和0.341 3%（女性）。调整后kt推算出RMSPE为0.006 75%（男性）和0.004 98%（女性）。由于RMSPE值越小，模型预测精度越高。调整后，模型的预测精度明显提高了。
分性别的kt调整值
表4
t
kt[]1993[]1994[]1995[]1996[]1997[]1998男[]2.376 4[]1.982 7[]1.553 6[]1.100 7[]0.633 8[]0.135 6女[]2.681 5[]2.228 8[]1.752 2[]1.247 0[]0.718[]0.162 6t
kt[]1999[]2000[]2001[]2002[]2003男[]-0.389 3[]-0.945 9[]-1.522[]-2.134 7[]-2.790 9女[]-0.431 1[]-1.057 4[]-1.716 6[]-2.422 1[]-3.162 9预测的分性别的kt及其95%置信区间
表5
年份[]男[]女kt[]kt95%的置信区间[]kt[]kt95%的置信区间2004[]-3.307 63[]-3.507 01[]-3.108 25[]-3.747 34[]-3.978 88[]-3.515 82005[]-3.824 36[]-4.118 87[]-3.529 85[]-4.331 78[]-4.673 78[]-3.989 782006[]-4.341 09[]-4.716 52[]-3.965 66[]-4.916 22[]-5.352 19[]-4.480 252007[]-4.857 82[]-5.307 69[]-4.407 95[]-5.500 66[]-6.023 08[]-4.978 242008[]-5.374 55[]-5.895 17[]-4.853 93[]-6.085 1[]-6.689 68[]-5.480 522009[]-5.891 28[]-6.480 3[]-5.302 26[]-6.669 54[]-7.353 54[]-5.985 542010[]-6.408 01[]-7.063 8[]-5.752 22[]-7.253 98[]-8.015 52[]-6.492 442011[]-6.924 74[]-7.646 13[]-6.203 35[]-7.838 42[]-8.676 15[]-7.000 692012[]-7.441 47[]-8.227 59[]-6.655 35[]-8.422 86[]-9.335 75[]-7.509 972013[]-7.958 2[]-8.808 37[]-7.108 03[]-9.007 3[]-9.994 57[]-8.020 032014[]-8.474 93[]-9.388 62[]-7.561 24[]-9.591 74[]-10.652 8[]-8.530 712015[]-8.991 66[]-9.968 43[]-8.014 89[]-10.176 2[]-11.310 5[]-9.041 892016[]-9.508 39[]-10.547 9[]-8.468 88[]-10.760 6[]-11.967 8[]-9.553 482017[]-10.025 1[]-11.127 1[]-8.923 17[]-11.34 51[]-12.624 7[]-10.065 42018[]-10.541 9[]-11.706[]-9.3777 1[]-11.929 5[]-13.281 38[]-10.577 62（七）模型的预测
将kt作为时间序列运用ARIMA模型推算出kt未来15年的预测值。用ARIMA（0,1,0）来预测kt。模型公式如下：
Δkt=z+εt（5）
这里Δkt是kt的一次微分,z是一个常数。εt是表示t年的残差并且εt服从N（0,σ2）的分布。经过模型拟合,得到:
男性：kt-kt-1=-0.517+εt
女性：kt-kt-1=-0.584+εt
从z值的大小可以看出女性死亡率下降得比男性要快。表4展示了经过预测的2004年~2018年男女的kt值及其95%的置信区间。
用时间序列模型将kt推至未来，根据前面解出的参数ax和bx，根据式（1）可以求出2004年~2018年的男女年龄别死亡率(qx)，根据死亡率的预测值来计算男女出生时的平均预期寿命（e0）。
分性别预测的e0,2004年~2018年
表6（单位:岁）
t
e0 []2004[]2005[]2006[]2007[]2008[]2009[]2010[]2011男[]80.17[]80.57[]80.97[]81.35[]81.73[]82.09[]82.45[]82.80女[]84.04[]84.42[]84.79[]85.15[]85.50[]85.84[]86.17[]86.49t
e0 []2012[]2013[]2014[]2015[]2016[]2017[]2018男[]83.14[]83.47[]83.79[]84.11[]84.42[]84.72[]85.01女[]86.80[]87.10[]87.40[]87.68[]87.96[]88.23[]88.49由表中可以看到，未来e0是平稳上升的，这样的结果符合实际的情况。
三、结论
本文主要运用LeeCarter模型根据中国寿险生命表的经验数据对未来15年的死亡率进行了预测，得到了比较合理的死亡率预测值。通过预测未来死亡率的变化趋势，可以得到未来生命表的发展趋势。在模型中，计算了参数ax，用SVD法估计了参数bx和kt，并用ARIMA（0,1,0）模型将kt推至未来15年，从而获得2004年~2018年的死亡率qx。然后，运用qx估计了未来15年的e0值。如果不考虑环境因素造成的影响，qx将持续平稳下降至2018年。而且，随着时间的改变，老年人口死亡率的下降对总体人口死亡率下降的贡献度将越来越大，这些结果将会为未来寿险产品的定价提供参考。
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Abstract：Based on  the  data of China life mortality table(1990-1993) and (2000-2003), this paper made a forecast on the mortality rate of population of future 15 years in China，and it is a new method to use the life mortality table in this way. At the beginning, this paper analyzed the present situations of these mortality tables,and then LeeCarter model is used to forecast the future 15 years′ mortality rate. The agespecific mortality rates from 2004 to 2018 presented in this paper can creat a series of new mortality tables. These new mortality tables can provide data for  life insurance products pricing,,and quantify the scale of future development of life insurance companies,just to name two practical application of this paper in the future.
Key words：mortality table； mortality tabl；  LeeCarter mode；  forecast
［编辑：沈雨青］保险研究2008年增刊2